Menemukan Persamaan Lingkaran dari Permasalahan Nyata (Finding the Circle Equation from the Real Problem)

Persamaan Lingkaran

Masalah 9.1

Gunung Sinabung di Kabupaten Karo, Sumatera Utara kembali meletus sekitar pukul 12.00 WIB hari Selasa tanggal 17 September 2013. Material yang dikeluarkan lebih banyak dibanding letusan pertama. Akibat letusan ini banyak warga yang mengungsi. Pemerintah setempat pun memberikan peringatan agar masyarakat yang berada pada radius 3 Km dari puncak gunung Sinabung harus segera mengungsi dan daerah tersebut harus bebas dari aktivitas dan dikosongkan untuk smeentara. Bantulah pemerintah kabupaten Karo untuk menentukan daerah mana saja yang masyarakatnya harus mengungsi. (Petunjuk: Gunakan peta Kabupaten Karo)

Alternatif Penyelesaian

Gambar 9.1: Peta kabupaten Karo

Anggap gunung Sinabung berada di Pusat (0,0), serta suatu desa tertentu dengan koordinat S(x,y), diilustrasikan pada gambar sbb:

Jarak titik S(x,y) ke titik P(0,0) dapat ditentukan dengan $\left|\overline{P}\overline{S}\right|=\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}$

Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS=r, maka $r=\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}$$\iff$ $\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}=r$ Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh: $(x-0{)}^2+(y-0{)}^2=r$

Diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh: $x^2+y^2=9$

Sifat 9.1

Persamaan Lingkaran yang berpusat di P(0,0) dan memiliki jari-jari r adalah $x^2+y^2=r^2$

Atau dengan kata lain

Jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(0,0) maka $L\left\{(x,y)|x^2+y^2=r^2\right\}$

Tentukan persamaan Lingkaran yang berpusat di titik P(0,0) dengan jari-jari sebagai berikut:

a).3

b).4

c).5

d).6

Alternatif Penyelesaian

a. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0,0) dengan jari-jari 3 adalah $x^2+y^2=9$

b. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0,0) dengan jari-jari 4 adalah $x^2+y^2=16$

c. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0,0) dengan jari-jari 5 adalah $x^2+y^2=25$

d. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0,0) dengan jari-jari 6 adalah $x^2+y^2=36$

Masalah 9.3

Misalkan gambar pada masalah 1 dipindahkan ke bidang koordinat kartesius dan gunung Sinabung berpusat di P(a,b) dan jari-jarinya r = 3 misalkan salah satu desa yaitu desa Sigarang-garang berada pada titik S(x,y)tentukanlah persamaan lingkaran tersebut!

Alternatif Penyelesaian

Gambar Lingkaran dengan pusat tertentu

Jarak titik S(x,y) ke titik P(a,b) adalah:

$\left|\overline{P}\overline{S}\right|=\sqrt{(x-\mathrm{a}{)}^2+(y-\mathrm{b}{)}^2}$

Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, maka $\iff$ $\sqrt{(x-\mathrm{a}{)}^2+(y-\mathrm{b}{)}^2}=r$ Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh: $(x-\mathrm{a}{)}^2+(y-\mathrm{b}{)}^2=r$

Berdasarkan informasi diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh: $(x-\mathrm{a}{)}^2+(y-\mathrm{b}{)}^2=9$

Contoh Soal

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2,2) dan berjari-jari r=2

Alternatif Penyeleaian

$(x-\mathrm{a}{)}^2+(y-\mathrm{b}{)}^2=r$

a=2, b=2, r=2

$(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$

Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat (2,2) dan jari-jari 2 adalah $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$

Contoh soal:

Tentukanlah titik pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan berikut!

a. $(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=4$

b. $(x+2{)}^2+(y+2{)}^2=9$

c. $(x+2{)}^2+(y-2{)}^2=\mathrm{16}$

d. $(x+2{)}^2+y^2=16$




Alternatif Penyelesaian

a. $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$

$\iff (x-2{)}^2+(y-2{)}^2=2^2$

$a=2;b=-2;r=2$

Jadi, lingkaran tersebut berpusat di titik (2,2) dengan jari-jari 2.

b. $(x+2{)}^2+(y+2{)}^2=9$

$\iff (x+2{)}^2+(y+2{)}^2=3^2$

$a=-2;b=-2;r=3$

Jadi, lingkaran tersebut berpusat di titik (-2,-2) dengan jari-jari 3.

c. $(x+2{)}^2+(y-2{)}^2=\mathrm{16}$

$\iff (x+2{)}^2+(y-2{)}^2=4^2$

$a=-2;b=2;r=4$

Jadi, lingkaran tersebut berpusat di titik (-2,2) dengan jari-jari 4.

d. $(x+2{)}^2+y^2=16$

$\iff (x+2{)}^2+(y-0{)}^2=4^2$

$a=-2;b=0;r=4$

Jadi, lingkaran tersebut berpusat di titik (-2,0) dengan jari-jari 4.

Sumber: Buku Guru Matematika Kelas XI, Cetakan Ke-I 2014

Copyright © whatablogwithnovi